JavaScript数据结构——图的实现

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  在计算机科学中,图是五种网络价值形式的抽象模型,它是一组由边连接的顶点组成。另两个 多多图G = (V, E)由以下元素组成:

  • V:一组顶点
  • E:一组边,连接V中的顶点

  下图表示了另两个 多多图的价值形式:

  在介绍如何用JavaScript实现图以后,朋友 先介绍或多或少和图相关的术语。

  如上图所示,由四根边连接在一齐的顶点称为相邻顶点,A和B是相邻顶点,A和D是相邻顶点,A和C是相邻顶点......A和E是不相邻顶点。另两个 多多顶点的是其相邻顶点的数量,A和其它另两个 多多顶点相连,可是 A的度为3,E和其它另两个 多多顶点相连,可是 E的度为2......路径是一组相邻顶点的连续序列,如上图中涵盖路径ABEI、路径ACDG、路径ABE、路径ACDH等。简单路径要求路径中不包涵盖重复的顶点,可能性将的最后另两个 多多顶点去掉 ,它也是另两个 多多简单路径。类似路径ADCA是另两个 多多环,它有的是另两个 多多简单路径,可能性将路径中的最后另两个 多多顶点A去掉 ,这麼它可是 另两个 多多简单路径。可能性图中不所处环,则称该图是无环的。可能性图中任何另两个 多多顶点间都所处路径,则该图是连通的,如上图可是 另两个 多多连通图。可能性图的边这麼方向,则该图是无向图,上图所示为无向图,反之则称为有向图,下图所示为有向图:

  在有向图中,可能性另两个 多多顶点间在双向上都所处路径,则称这另两个 多多顶点是强连通的,如上图中C和D是强连通的,而A和B是非强连通的。可能性有向图中的任何另两个 多多顶点间在双向上都所处路径,则该有向图是强连通的,非强连通的图也称为稀疏图

  此外,图还都还上可不可以是加权的。前面朋友 看一遍的图有的是未加权的,下图为另两个 多多加权的图:

  都还上可不可以想象一下,前面朋友 介绍的树和链表也属于图的五种特殊形式。图在计算机科学中的应用十分广泛,类似朋友 都还上可不可以搜索图中的另两个 多多特定顶点或四根特定的边,可能性寻找另两个 多多顶点间的路径以及最短路径,检测图中否是所处环等等。

  所处多种不同的法律依据 来实现图的数据价值形式,下面介绍几种常用的法律依据 。

邻接矩阵

  在邻接矩阵中,朋友 用另两个 多多二维数组来表示图中顶点之间的连接,可能性另两个 多多顶点之间所处连接,则这另两个 多多顶点对应的二维数组下标的元素的值为1,而且 为0。下图是用邻接矩阵法律依据 表示的图:

  可能性是加权的图,朋友 都还上可不可以将邻接矩阵中二维数组里的值1改成对应的加权数。邻接矩阵法律依据 所处另两个 多多缺点,可能性图是非强连通的,则二维数组中会有可是 的0,这表示朋友 使用了可是 的存储空间来表示根本不所处的边。原先缺点可是 当图的顶点所处改变时,对于二维数组的修改会变得不太灵活。

邻接表

  图的另外五种实现法律依据 是邻接表,它是对邻接矩阵的五种改进。邻接表由图中每个顶点的相邻顶点列表所组成。如下图所示,朋友 都还上可不可以用数组、链表、字典或散列表来表示邻接表。

关联矩阵

  朋友 还都还上可不可以用关联矩阵来表示图。在关联矩阵中,矩阵的行表示顶点,列表示边。关联矩阵通常用于边的数量比顶点多的请况下,以节省存储空间。如下图所示为关联矩阵法律依据 表示的图:

  下面朋友 重点看下如何用邻接表的法律依据 表示图。朋友 的Graph类的骨架如下,它用邻接表法律依据 来实现无向图:

class Graph {
    constructor () {
        this.vertices = []; // 用来存放图中的顶点
        this.adjList = new Dictionary(); // 用来存放图中的边
    }

    // 向图中去掉

另两个





多多新顶点
    addVertex (v) {}

    // 向图中去掉

a和b另两个





多多顶点之间的边
    addEdge (a, b) {}
}

  在Graph类中,朋友 用数组vertices来保存图中的所有顶点,用字典(请参考《JavaScript数据价值形式——字典和散列表的实现》一文中的Dictionary类)adjList来保存图中每另两个 多多顶点到相邻顶点的关系列表,在字典中,顶点被作为键值。请参考前面朋友 给出的邻接表的示意图。而且 在Graph类中,朋友 提供另两个 多多法律依据 ,法律依据 addVertex()用来向图中去掉 另两个 多多新顶点,法律依据 addEdge()用来向图中去掉 给定的顶点a和顶点b之间的边。让朋友 来看下这另两个 多多法律依据 的实现。

addVertex (v) {
    if (!this.vertices.includes(v)) {
        this.vertices.push(v);
        this.adjList.set(v, []);
    }
}

  要去掉 另两个 多多新顶点,首比较慢判断该顶点在图中否是可能性所处了,可能性可能性所处则只能去掉 。可能性不所处,就在vertices数组中去掉 另两个 多多新元素,而且 在字典adjList中去掉 另两个 多多以该顶点作为key的新元素,值为空数组。

addEdge (a, b) {
    // 可能性图中这麼顶点a,先去掉

顶点a
    if (!this.adjList.has(a)) {
        this.addVertex(a);
    }
    // 可能性图中这麼顶点b,先去掉

顶点b
    if (!this.adjList.has(b)) {
        this.addVertex(b);
    }

    this.adjList.get(a).push(b); // 在顶点a中去掉

指向顶点b的边
    this.adjList.get(b).push(a); // 在顶点b中去掉

指向顶点a的边
}

  addEdge()法律依据 也很简单,首比较慢确保给定的另两个 多多顶点a和b在图中须要所处,可能性不所处,则调用addVertex()法律依据 进行去掉 ,而且 分别在字典中找到键值为顶点a和键值为顶点b的元素,在对应的值中去掉 另两个 多多新元素。

  下面是Graph类的完整篇 代码,其中的toString()法律依据 是为了朋友 测试用的,它的所处有的是须要的。

  对于本文一以后开始给出的图,朋友 去掉 下面的测试用例:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'B');
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('C', 'D');
graph.addEdge('C', 'G');
graph.addEdge('D', 'G');
graph.addEdge('D', 'H');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('B', 'F');
graph.addEdge('E', 'I');

console.log(graph.toString());

  下面是测试结果:

A -> B C D 
B -> A E F 
C -> A D G 
D -> A C G H 
E -> B I 
F -> B 
G -> C D 
H -> D 
I -> E 

  都还上可不可以看一遍,与示意图是相符合的。

  和树类似,朋友 都还可不可以都还可不可以对图进行遍历,以访问图中的所有顶点。图的遍历法律依据 分为五种:广度优先(Breadth-First Search,BFS)和厚度优先(Depth-First Search,DFS)。对图的遍历都还上可不可以用来寻找特定的顶点或另两个 多多顶点之间的最短路径,以及检查图否是连通、图中否是涵盖环等。

  在接下来要实现的算法中,朋友 按照如下的约定对图中的顶点进行遍历,每个顶点最多访问两次:

  • 白色:表示该顶点未被访问。
  • 灰色:表示该顶点被访问过,但未被探索。
  • 黑色:表示该顶点被访问而且 被探索过。

广度优先

  广度优先算法会从指定的第另两个 多多顶点以后开始遍历图,先访问五种顶点的所有相邻顶点,而且 再访问那先 相邻顶点的相邻顶点,以此类推。最终,广度优先算法会先广后深地访问图中的所有顶点。下面是广度优先遍历的示意图:

  可能性朋友 采用邻接表的法律依据 来存储图的数据,对于图的每个顶点,都另两个 多多多字典与之对应,字典的键值为顶点的值,字典的内容为与该顶点相邻的顶点列表。基于五种数据价值形式,朋友 都还上可不可以考虑将所有顶点的邻接顶点存入队列,而且 依次处里队列中的顶点。下面是具体的遍历步骤:

  1. 将以后开始顶点存入队列。
  2. 遍历以后开始顶点的所有邻接顶点,可能性那先 邻接顶点这麼被访问过(颜色为白色),则将它们标记为被访问(颜色为灰色),而且 加入队列。
  3. 将以后开始顶点标记为被处里(颜色为黑色)。
  4. 循环处里队列中的顶点,直到队列为空。

  下面是该算法的具体实现:

let Colors = {
    WHITE: 0,
    GREY: 1,
    BLACK: 2
};

let initializeColor = vertices => {
    let color = {};
    vertices.forEach(v => color[v] = Colors.WHITE);
    return color;
};

let breadthFirstSearch = (graph, startVertex, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();

    queue.enqueue(startVertex);

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
        if (callback) callback(u);
    }
};

  breadthFirstSearch()法律依据 接收另两个 多多graph对象,图的数据通过该对象传入。参数startVertex指定了遍历的起始顶点。回调函数callback规定了要如何处里被遍历到的顶点。

  首先通过initializeColor()函数将所有的顶点标记为未被访问过(颜色为白色),那先 颜色保所处以顶点值为key的color对象中。图的vertices和adjList属性都还上可不可以通过getVertices()和getAdjList()法律依据 得到,而且 构造另两个 多多队列queue(有关队列类Queue请参考《JavaScript数据价值形式——队列的实现与应用》),按照上端描述的步骤对图的顶点进行遍历。

  在前面朋友 给出的测试用例的基础上,去掉 下面的代码,来看看breadthFirstSearch()法律依据 的执行结果:

breadthFirstSearch(graph, 'A', value => console.log(`visited vertex: ${value}`));

  参数graph为前面测试用例中Graph类的实例,也可是 朋友 用来保存图的数据的对象,'A'被作为遍历的起始顶点,在回调函数中,打印一行文本,用来展示顶点被遍历的顺序。下面是测试结果:

visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: E
visited vertex: F
visited vertex: G
visited vertex: H
visited vertex: I

  尝试将'I'作为起始顶点,看看执行结果:

visited vertex: I
visited vertex: E
visited vertex: B
visited vertex: A
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了方便理解,朋友 将顶点I上放最上端。从顶点I以后开始,首先遍历到的是它的相邻顶点E,而且 是E的相邻顶点B,其次是B的相邻顶点A和F,A的相邻顶点C和D,C的相邻顶点G(D可能性被遍历过了),最后是D的相邻顶点H(C和G可能性被遍历过了)。

寻找最短路径

  前面展示了广度优先算法的工作原理,朋友 都还上可不可以使用它做更多的事情,类似在另两个 多多图G中,从顶点v以后开始到其它所有顶点间的最短距离。朋友 考虑一下如何用BFS来实现寻找最短路径。

  假设另两个 多多相邻顶点间的距离为1,从顶点v以后开始,在其路径上每经过另两个 多多顶点,距离加1。下面是对breadthFirstSearch()法律依据 的改进,用来返回从起始顶点以后开始到其它所有顶点间的距离,以及所有顶点的前置顶点。

let BFS = (graph, startVertex) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();
    let distances = {};
    let predecessors = {};

    queue.enqueue(startVertex);

    // 初始化所有顶点的距离为0,前置节点为null
    vertices.forEach(v => {
        distances[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                distances[n] = distances[u] + 1;
                predecessors[n] = u;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
    }

    return {distances, predecessors};
};

  在BFS()法律依据 中,朋友 定义了另两个 多多对象distances和predecessors,用来保存从起始顶点出发到其它所有顶点的距离以及那先 顶点的前置顶点。BFS()法律依据 不须要callback回调函数,可能性它会自行输出最终结果。与breadthFirstSearch()法律依据 的逻辑类似,只不过在以后开始的以后将所有顶点的距离初始化为0,前置顶点初始化为null,而且 在遍历的过程中,重新设置顶点的distances值和predecessors值。朋友 仍然将顶点A作为起始顶点,来看看测试结果:

console.log(BFS(graph, 'A'));
{
  distances: { A: 0, B: 1, C: 1, D: 1, E: 2, F: 2, G: 2, H: 2, I: 3 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'A',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'C',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  如你所见,distances为从顶点A以后开始到其它所有顶点的最短距离(相邻顶点间的距离为1),predecessors记录了所有顶点的前置顶点。以BFS()法律依据 的返回结果为基础,通过下面的代码,朋友 都还上可不可以得出从顶点A以后开始到其它所有顶点的最短路径:

let shortestPathA = BFS(graph, 'A');
let startVertex = 'A';
myVertices.forEach(v => {
    let path = new Stack();
    for (let v2 = v; v2 !== startVertex; v2 = shortestPathA.predecessors[v2]) {
        path.push(v2);
    }

    path.push(startVertex);
    let s = path.pop();
    while (!path.isEmpty()) {
        s += ` - ${path.pop()}`;
    }

    console.log(s);
});

  其中的Stack类都还上可不可以参考《JavaScript数据价值形式——栈的实现与应用》。下面是对应的执行结果:

A
A - B
A - C
A - D
A - B - E
A - B - F
A - C - G
A - D - H
A - B - E - I

   以上朋友 说的有的是未加权的图,对于加权的图,广度优先算法并有的是最离米 的。下面给出了另外几种最短路径算法:

Dijkstra - 寻找从指定顶点到其它所有顶点的最短路径的贪心算法。

Floyd-Warshall - 计算图中所有最短路径的动态规划算法。

Kruskal - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

Prime - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

厚度优先

  厚度优先算法从图的第另两个 多多顶点以后开始,沿着五种顶点的四根路径递归查找到最后另两个 多多顶点,而且 返回并探查路径上的其它路径,直到所有路径都被访问到。最终,厚度优先算法会先深后广地访问图中的所有顶点。下面是厚度优先遍历的示意图:

  朋友 仍然采用和广度优先算法一样的思路,一以后开始将所有的顶点初始化为白色,而且 沿着路径递归探查其余顶点,当顶点被访问过,将颜色改为灰色,可能性顶点被探索过(处里过),则将颜色改为黑色。下面是厚度优先算法的具体实现:

let depthFirstSearchVisit = (u, color, adjList, callback) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    if (callback) callback(u);

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(n, color, adjList, callback);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
};

let depthFirstSearch = (graph, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(v, color, adjList, callback);
        }
    });
};

  具体执行步骤为:

  1. 将图中所有顶点的颜色初始化为白色。
  2. 遍历顶点,此时A作为第另两个 多多顶点,它的颜色为白色,于是调用函数depthFirstSearchVisit(),并将顶点A、color、graph.adjList作为参数传入。
  3. 在depthFirstSearchVisit()函数内控 ,可能性顶点A被访问过了,可是 将颜色设置为灰色,并执行callback回调函数(可能性所处),而且 遍历A的邻接顶点B、C、D。
  4. B未被访问过,颜色为白色,可是 将B作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。B设置为灰色,callback('B')。遍历B的邻接节点E和F。
  5. E未被访问过,颜色为白色,可是 将E作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。E设置为灰色,callback('E')。遍历E的邻接节点I。
  6. I未被访问过,颜色为白色,可是 将I作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。I设置为灰色,callback('I')。I这麼邻接节点,而且 将I设置为黑色。递归返回到5。
  7. E这麼其它邻接节点,将E设置为黑色。递归返回到4。
  8. 遍历B的原先邻接节点F,F未被访问过,颜色为白色,可是 将F作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。F设置为灰色,callback('F')。F这麼邻接节点,而且 将F设置为黑色。递归返回到4。
  9. B的所有邻接节点都被访问过了,将B设置为黑色。递归返回到3。
  10. 访问A的第六个邻接节点C,C未被访问过,颜色为白色,可是 将C作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。C设置为灰色,callback('C')。遍历C的邻接节点D、G。
  11. D未被访问过,颜色为白色,可是 将D作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。D设置为灰色,callback('D')。遍历D的邻接节点G和H。
  12. G未被访问过,颜色为白色,可是 将G作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。G设置为灰色,callback('G')。G这麼邻接节点,而且 将G设置为黑色。递归返回到11。
  13. 遍历D的原先邻接节点H,H未被访问过,颜色为白色,可是 将H作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。H设置为灰色,callback('H')。H这麼邻接节点,而且 将H设置为黑色。递归返回到11。
  14. D的所有邻接节点都被访问过了,将D设置为黑色。递归返回到10。
  15. 遍历C的原先邻接节点G,可能性G可能性被访问过,对C的邻接节点的遍历以后开始。将C设置为黑色。递归返回到3。
  16. 访问A的最后另两个 多多邻接节点D,可能性D可能性被访问过,对A的邻接节点的遍历以后开始。将A设置为黑色。
  17. 而且 对剩余的节点进行遍历。可能性剩余的节点都被设置为黑色了,可是 多多tcp连接 以后开始。

  对应的测试用例及执行结果如下:

depthFirstSearch(graph, value => console.log(`visited vertex: ${value}`));
visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: E
visited vertex: I
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了便于理解,朋友 将整个遍历过程用下面的示意图来展示:

  前面说过,厚度优先算法的数据价值形式是栈,然而这里朋友 并这麼使用栈来存储任何数据,可是 使用了函数的递归调用,确实递归也是栈的五种表现形式。另外或多或少,可能性图是连通的(即图中任何另两个 多多顶点之间都所处路径),朋友 都还上可不可以对上述代码中的depthFirstSearch()法律依据 进行改进,只须要对图的起始顶点以后开始遍历一次就都还上可不可以了,而不须要遍历图的所有顶点,可能性从起始顶点以后开始的递归就都还上可不可以覆盖图的所有顶点。

拓扑排序

  前面展示了厚度优先算法的工作原理,朋友 都还上可不可以使用它做更多的事情,类似拓扑排序(toplogical sorting,也叫做topsort可能性toposort)。与广度优先算法类似,朋友 也对上端的depthFirstSeach()法律依据 进行改进,以说明如何使用厚度优先算法来实现拓扑排序:

let DFSVisit = (u, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    discovery[u] = ++time.count;

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            predecessors[n] = u;
            DFSVisit(n, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
    finished[u] = ++time.count;
};

let DFS = graph => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let discovery = {};
    let finished = {};
    let predecessors = {};
    let time = { count: 0 };

    vertices.forEach(v => {
        finished[v] = 0;
        discovery[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            DFSVisit(v, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    return {discovery, finished, predecessors};
};

  DFS()法律依据 会输出图中每个顶点的发现时间和探索时间,朋友 假定时间从0以后开始,每经过一步时间值加1。在DFS()法律依据 中,朋友 用变量discovery,finished,predecessors来保存每个顶点的发现时间、探索时间和前置顶点(五种和广度优先算法中寻找最短路径中的一致,但最终执行结果会有区别),最终的输出结果中也会反映这另两个 多多值。这里须要注意的是,变量time固然被定义为对象而有的是另两个 多多普通的数字,是可能性朋友 须要在函数间传递五种变量,可能性可是 作为值传递,函数内控 对变量的修改还会影响到它的原始值,而且 朋友 可是 须要在函数递归调用的过程中不断记录time的变化过程,可是 采用值传递的法律依据 显然不行。而且 朋友 将time定义为另两个 多多对象,对象被作为引用传递给函数,原先在函数内控 对它的修改就会反映到原始值上。

  来看看对DFS()法律依据 的测试结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 2, C: 10, D: 11, E: 3, F: 7, G: 12, H: 14, I: 4 },
  finished: { A: 18, B: 9, C: 17, D: 16, E: 6, F: 8, G: 13, H: 15, I: 5 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'C',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'D',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  朋友 将结果反映到示意图上,原先更加直观:

  示意图上每另两个 多多顶点左边的数字是顶点的发现时间,右边的数字是顶点的探索时间,完整篇 完成时间是18,都还上可不可以结合前面的厚度优先算法遍历过程示意图来看,它们是对应的。一齐朋友 也看一遍,厚度优先算法的predecessors和广度优先算法的predecessors会有所不同。

  拓扑排序只能应用于有向无环图(DAG)。基于上端DFS()法律依据 的返回结果,朋友 都还上可不可以对顶点的完成时间(探索时间finished)进行排序,以得到朋友 须要的拓扑排序结果。

  可能性要实现有向图,只须要对前面朋友 实现的Graph类的addEdge()法律依据 略加修改,将最后一行删掉。当然,朋友 都还可不可以都还可不可以在Graph类的构造函数中指明是有向图还是无向图,下面是改进后的Graph类:

  而且 朋友 对有向图应用DFS算法:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('B', 'D');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('C', 'F');
graph.addEdge('F', 'E');
console.log(DFS(graph));

  下面是返回结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 11, C: 2, D: 8, E: 4, F: 3 },
  finished: { A: 10, B: 12, C: 7, D: 9, E: 5, F: 6 },
  predecessors: { A: null, B: null, C: 'A', D: 'A', E: 'F', F: 'C' }
}

  示意图如下:

  对顶点的完成时间进行倒序排序,得到的拓扑排序结果为:B - A - D - C - F - E。

  下一章朋友 将介绍如何用JavaScript来实现各种常见的排序算法。